Question

8．求函数y=a^2x-2a^x-1（a＞0，a≠1）的单调区间和值域．

Answer 1

分析 分a＞1和0＜a＜1讨论指数函数的单调性，结合二次函数的单调性可得函数的单调性，可得值域．

解答 解：当a＞1时，t=a^x在R上单调递增，
换元可得y=t²-2t-1=（t-1）²-2，
由二次函数可知y在t∈（0，1）上单调递减，在t∈（1，+∞）上单调递增，
∴y在x∈（-∞，0）上单调递减，在t∈（0，+∞）上单调递增，
∴当t=1即x=0时，函数y取最小值-2，即函数的值域为[-2，+∞）；
当0＜a＜1时，t=a^x在R上单调递减，
换元可得y=t²-2t-1=（t-1）²-2，
由二次函数可知y在t∈（0，1）上单调递减，在t∈（1，+∞）上单调递增，
∴y在x∈（-∞，0）上单调递增，在t∈（0，+∞）上单调递减，
当t=1即x=0时，函数y取最小值-2，即函数的值域为[-2，+∞）．

点评 本题考查复合函数的单调性和最值，涉及分类讨论和指数函数以及二次函数的性质，属中档题．