Question

已知f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…

x101

101

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x101

101

，若函数f（x）有唯一零点x₁，函数g（x）有唯一零点x₂，则有（　　）

A．x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）

B．x₁∈（-1，0），x₂（1，2）

C．x₁∈（0，1），x₂∈（0，1）

D．x₁∈（-1，0），x₂∈（1，0）

Answer 1

分析：先判断函数零点所在的区间，然后证明其单调性即可．

解答：解：①∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

101

＜0，∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点；
又f^′（x）=1-x+x²-x³+…+x¹⁰⁰，
当x∈（-1，0）时，f^′（x）=

1+x101

1+x

＞0，∴函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x₁∈（-1，0）；
②∵g（1）=1-1+

1

2

-

1

3

+…+

1

100

-

1

101

＞0，g（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

2100

100

-

2101

101

＜0．
当x∈（1，2）时，f^′（x）=-1+x-x²+x³-…+x⁹⁹-x¹⁰⁰=

x100-1

x+1

＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x₂∈（1，2）；
综上可知：正确答案为B．
故选B．

点评：理解函数零点的判断方法和正确使用导数研究函数的单调性是解题的关键．