Question

1．如图，四棱锥S-ABCD中，BC∥AD，BC=2AB=2AD=2，SD=$\frac{1}{2}$，BD⊥SD，∠ABC=60°，E为BC的中点．
（1）求证：AD∥平面SBC；
（2）求证：BD⊥SC；
（3）若二面角S-BD-C为60°，求直线SE与平面SDC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由BC∥AD，能证明AD∥平面SBC．
（2）由余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$，连结DE，则四边形ABED是平行四边形，推导出BD⊥CD，由此能证明BD⊥SC．
（3）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线SE与平面SDC所成的角．

解答 证明：（1）∵BC∥AD，
AD?平面SBC，BC?平面SBC，
∴AD∥平面SBC．
（2）∵BC=2AB=2AD=2，SD=$\frac{1}{2}$，BD⊥SD，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，BD=$\sqrt{1+1-2×1×1×120°}$=$\sqrt{3}$，
连结DE，则四边形ABED是平行四边形，
∴DE=CE=1，∠DEC=∠ABE=60°，
∴CD=1，∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵SD∩CD=D，∴BD⊥平面SDC，
∵SC?平面SDC，∴BD⊥SC．
解：（3）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵二面角S-BD-C为60°，SD⊥BD，CD⊥BD，
∴∠SDC是二面角S-BD-C的平面角，即∠SDC=60°，
S（0，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），D（0，0，0），C（0，1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0$），
$\overrightarrow{SE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DS}$=（0，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设平面SDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）
设直线SE与平面SDC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{SE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴直线SE与平面SDC所成的角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．