Question

（本题满分12分）
设数列{a_n}的前n项和为S_n＝2n²，{b_n}为等比数列，且a₁＝b₁，b₂(a₂－a₁)＝b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n＝，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：(1)当n≥2时，
a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，当n＝1时，a₁＝S₁＝2满足上式，
故{a_n}的通项式为a_n＝4n－2．设{b_n}的公比为q，由已知条件b₂(a₂－a₁)＝b₁知，b₁＝2，b₂＝，所以q＝，∴b_n＝b₁q^n－1＝2×，即b_n＝ ．                         …….6分
(2)∵c_n＝＝＝(2n－1)4^n－1，∴T_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n＝[1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n－1]
4T_n＝[1×4＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n－1＋(2n－1)4ⁿ]两式相减得：
3T_n＝－1－2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n－1)＋(2n－1)4ⁿ＝[(6n－5)4ⁿ＋5]
∴T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5] ．                                                  …….12分

略