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若在曲线f(x,y)=0(或y=f(x))上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0或y=f(x)的“自公切线”.下列方程:
①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】分析:化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线.
解答:解:①、x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
②、y=x2-|x|=,在 x= 和 x=- 处的切线都是y=-,故②有自公切线.
③、y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=,sinφ=
此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④、由于|x|+1=,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.
故答案为 C.
点评:本题考查函数的自公切线的定义,函数图象的特征,准确判断一个函数是否有自公切线,是解题的难点.
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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
4-
y
2
 

对应的曲线中存在“自公切线”的有(  )

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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx; 
|x|+1=
4-y2

对应的曲线中存在“自公切线”的有
②③
②③

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4-y2
,存在自公切线的是(  )
A、①③B、①④C、②③D、②④

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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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