Question

如图：设一正方形ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，使A、B、C、D四点重合，记为A点．恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．

Answer 1

解：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，设边长为a，
∵正方形ABCD边长为2分米，∴AH=a==，解得a==-
∴正四棱锥的棱长a=-
∴PO=a，AO==a，
∴V=×a²×AO=a³=×（-）³=4-
（II）∵AH=PQ×tanx===-PQ
∴PQ=，AH=
∴S=4××PQ×AH
=2×PQ×AH
=2××
= x∈[，）
∵S===≤=2 （当且仅当tanx=1即x=时取等号）
而tanx＞0，故s＞0
∴S的范围为（0，2]
分析：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；
（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域
点评：本题主要考查了正四棱锥的几何性质，正四棱锥中的棱长、高、体积的计算，建立函数模型并求其最值的方法，有一定的难度