Question

如图平面四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=CD=BD 设∠BAD=θ
（I）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数．
（II）求四边形ABCD面积S的最大值及此时θ值．

Answer 1

分析：（I）在△BAD中，由余弦定理求BD，从而可求四边形ABCD的面积；
（II）将四边形的面积化简，确定角的范围，利用三角函数的图象，即可求得四边形ABCD面积S的最大值．

解答：解：（I）在△BAD中，由余弦定理可得BD=

a2+a2-2a2cosθ

=

2a2(1-cosθ)

∴四边形ABCD的面积S=

1

2

a2sinθ+

3

4

×[2a²（1-cosθ）]=

3

2

a2+a²（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）
=

3

2

a2+a²sin（θ-

π

3

）（0＜θ＜π）
（II）∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

∴-

3

2

＜sin（θ-

π

3

）≤1
当且仅当θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

时，sin（θ-

π

3

）取得最大值1
四边形ABCD面积S的最大值为

3

2

a2+a²，此时θ=

5π

6

．

点评：本题考查三角函数知识，考查余弦定理的运用，考查三角函数的性质，属于中档题．