Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（3

2

，

2

），椭圆的离心率e=

2 2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（3

2

，

2

），椭圆的离心率e=

2 2

3

．可得

18 a2 + 2 b2 =1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）设直线MA的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于∠AMB的平分线与y轴平行，可得直线MA与MB的斜率互为相反数．设直线MB的斜率为k，得到直线MB：y-

2

=k(x-3

2

)，与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用斜率计算公式即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（3

2

，

2

），椭圆的离心率e=

2 2

3

．
∴

18 a2 + 2 b2 =1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得

a2=36 b2=4，c2=32

．
因此椭圆方程为

x2

36

+

y2

4

=1
（2）设直线MA的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵∠AMB的平分线与y轴平行，∴直线MA与MB的斜率互为相反数，
设直线MB的斜率为k，联立直线MA与椭圆方程：

y=kx+ 2 -3 2 k x2 36 + y2 4 =1

，
整理得(9k2+1)x2+18

2

k(1-3k)x+162k2-108k-18=0，
解得x1=

18 2 (3k2-k)

9k2+1

-3

2

，x2=

18 2 (3k2+k)

9k2+1

-3

2

，
可得x2-x1=

36 2 k

9k2+1

，x2+x1=

108 2 k2

9k2+1

-6

2

，
又y2-y1=-k(x2+x1)+6

2

k=

-108k3

9k2+1

+12

2

k=

12 2 k

9k2+1

，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

12 2 k 9k2+1

36 2 k 9k2+1

=

1

3

为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、角平分线的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．