Question

正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是

 

．

Answer 1

分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，

2

3

•

3

2

a=2∴a=2

3

设侧棱为b，则b=2

2

斜高h′=

5

．由面积法求A到侧面PBC的距离h=

3 2 •2 3 •2

5

=

6 5

5

．

解答：解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，
则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，
∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0
∴BC⊥平面APM
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面APM，
又∵平面ABC∩平面APM=PM，
∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高
设底面边长为a，
则

2

3

•

3

2

a=2∴a=2

3

设侧棱为b，则b=2

2

斜高h′=

5

．
由面积法求A到侧面PBC的距离h=

3 2 •2 3 •2

5

=

6 5

5

故答案为：

6 5

5

点评：本小题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．