Question

8．已知函数f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}cos2x-1$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，和差角公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间．
（2）不等式|f（x）-m|＜2在$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$时恒成立，则m＞f_max（x）-2且m＜f_min（x）+2，进而求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}cos2x-1$
=2[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1…（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：
kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z时，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z…（6分）
（2）∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
即3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5
∴f_max（x）=5，f_min（x）=3 …（9分）
∵|f（x）-m|＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∴m＞f_max（x）-2且m＜f_min（x）+2
∴3＜m＜5
∴m的取值范围是（3，5）…（12分）

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，二倍角公式，和差角公式，是三角函数的综合应用，难度中档．