Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x²+2x+1的解集为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）-（x²+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可

解答： 解：∵f′（x）＜2x+1，
∴f′（x）-（2x+1）＜0，
即[f（x）-（x²+x）]′＜0
设g（x）=f（x）-（x²+x）
则g（x）在R上为减函数，
∵f（1）=3，
∴g（1）=f（1）-（1²+1）=3-2=1
∵f（2x）＜4x²+2x+1=（2x）²+2x+1，
∴f（2x）-[（2x）²+2x]＜1，
∴g（2x）＜1=g（1）
∴2x＞1，
解得x＞

1

2

故答案为：（

1

2

，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．是中档题