Question

2．已知$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
（1）若tanα=2，求f（α）的值；
（2）已知sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0的两根，求f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过tanα=2求出结果即可．
（2）利用已知条件求出a，然后求解f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$的值．

解答 解：（1）$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
=$（si{n}^{2}x+sinxcosx）+2sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+sin（2x+\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}$$（sin2x+cos2x）+\frac{1}{2}$，
∵tanx=2，∴$sin2x=\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x+{cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{4}{5}$，
cos2x=$\frac{{cos}^{2}x-s{in}^{2}x}{{sin}^{2}x+{cos}^{2}x}$=$\frac{1-{tan}^{2}x}{{tan}^{2}x+1}$=-$\frac{3}{5}$．
∴f（α）=$\frac{1}{2}$$（sin2x+cos2x）+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$．
（2）sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0的两根，sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，
∴a²-2a=1，解得$a=1±\sqrt{2}$，
又$\left|sinθcosθ\right|≤\frac{1}{2}$，
∴a=$1-\sqrt{2}$$sinθcosθ=1-\sqrt{2}$，
f（θ）-$\frac{1}{2}cos2θ-\frac{1}{2}$=1$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，两角和与差的三角函数，考查计算能力．