Question

4．设（x+2）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N*，n≥2），且a₀，a₁，a₂成等差数列．
（1）求（x+2）ⁿ展开式的中间项；
（2）求（x+2）ⁿ展开式所有含x奇次幂的系数和．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式及其a₀，a₁，a₂成等差数列．可得n．进而得出．
（2）在${（x+2）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_8}{x^8}$中，分别令令x=1，x=-1，即可得出．

解答 解：（1）${T_{r+1}}=C_n^r{2^{n-r}}{x^r}$，∴${a_0}={2^n}，{a_1}=n×{2^{n-1}}，{a_2}=\frac{n（n-1）}{2}×{2^{n-2}}$，（2分）
∵a₀，a₁，a₂成等差数列，∴$2n×{2^{n-1}}={2^n}+\frac{n（n-1）}{2}×{2^{n-2}}⇒{n^2}-9n+8=0$（4分）
解得：n=8或n=1（舍去）
∴（x+2）ⁿ展开式的中间项是${T_5}=C_8^4{2^{8-4}}{x^4}=1120{x^4}$．（6分）
（2）在${（x+2）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_8}{x^8}$中，
令x=1，则3⁸=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇+a₈（8分）
令x=-1，则1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇+a₈（10分）
两式相减得：$2（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}）={3^8}-1$
∴${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2}=3280$．（12分）

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．