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11.已知函数f(x)=sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1.
(1)用“五点法”作出f(x)在$x∈[-\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$上的简图;
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.

分析 (1)用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象.
(2)利用正弦函数的单调性以及图象的对称性,求出f(x)的对称中心以及单调递增区间.
(3)利用正弦函数的最值求得f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.

解答 解:(1)对于函数f(x)=sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1,在$x∈[-\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$上,2x+$\frac{π}{4}$∈[0,2π],列表:

 2x+$\frac{π}{4}$ 0 $\frac{π}{2}$ π $\frac{3π}{2}$ 2
 x-$\frac{π}{8}$ $\frac{π}{8}$ $\frac{3π}{8}$ $\frac{5π}{8}$ $\frac{7π}{8}$
 f(x) 1 2 1 0 1
作图:

(2)令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$,求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$,可得函数的图象的对称中心为($\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$,0),k∈Z.
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$,可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$,kπ+$\frac{π}{8}$],k∈Z.
(3 )令2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,求得x=kπ+$\frac{π}{8}$,可得函数f(x)的最大值为2,此时,x=kπ+$\frac{π}{8}$,k∈Z.

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象,正弦函数的图象的对称性,正弦函数的最值,属于中档题.

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