Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer 1

分析：（1）PA=PD，连BD，四边形ABCD菱形，Q为 AD中点，证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，
即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=

1

3

的值，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，
说明三角形相似，求出t=

1

3

．

解答：解：（1）连BD，四边形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为 AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为 AD中点AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）当t=

1

3

时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，
则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=

3

3

a，AC=

3

a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN

PM

PC

=

AN

AC

=

3 a 3

3 a

 =

1

3

即：PM=

1

3

PC，t=

1

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．