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【题目】已知f(x)=xex﹣ax2﹣x,a∈R.
(1)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对x≥1时,恒有f(x)≥xex+ax2成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:f′(x)=(x+1)ex﹣2ax﹣1,

当a= 时,f′(x)=(x+1)ex﹣(x+1)=(x+1)(ex﹣1),

当x>0或x<﹣1时,f′(x)>0,当﹣1<x<0时,f′(x)<0,

函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1),(0,+∞),单调递减区间为(﹣1,0);


(2)解:若对x≥1时,恒有f(x)≥xex+ax2成立,

即g(x)=ax2+x在≤0[1,+∞)恒成立,

①a=0时,g(x)=x,显然不成立,

②故a<0,g(x)=ax2+x开口向下,对称轴x=﹣

<1即a<﹣ 时,g(x)在[1,+∞)递减,

g(x)min=g(1)=a+1≤0,解得:a≤﹣1;

≤a<0时,g(x)在[1,﹣ )递增,在(﹣ ,+∞)递减,

g(x)max=g(﹣ )=﹣ >0,不成立,

综上:a≤﹣1.


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为g(x)=ax2+x在≤0[1,+∞)恒成立,a=0时,不成立,a<0时,结合二次函数的性质求出a的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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