Question

设椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，点F₂到右准线为l的距离为
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，
证明：当|MN|取最小值时，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据离心率求得a和c的关系，进而根据F₂到右准线为l的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而根据a，b和c的关系气的b．
（Ⅱ）根据（1）中的椭圆方程求得可知椭圆的焦点坐标，则l的方程可得，设出M，N的坐标，根据求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表达式中，根据均值不等式求得|MN|的最小值，根据等号成立的条件求得y₁和y₂的值，进而求得，证明原式．
解答：解：（Ⅰ）因为，F₂到l的距离，所以由题设得解得
由b²=a²-c²=2，得
（Ⅱ）由得，l的方程为
故可设
由知知
得y₁y₂=-6，所以
当且仅当时，上式取等号，此时y₂=-y₁
所以，=（0，y₁+y₂）=
点评：此题重点考查椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量与椭圆的综合应用；要熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的应灵活应用．