Question

如图所示，已知椭圆C：=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（，），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，可得a²≥3c²，从而可得e的最大值；
（3）若e∈（，），可得，从而可求m的取值范围．
解答：解：（1）直线方程与椭圆方程联立，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）-2c=，y₁y₂=
∵A（0，a），∴=（x₁，y₁-a），=（x₂，y₂-a）
∴=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=
∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1）
∴m²=3-2a²；
（2）由（1）知，m²=3-2a²≥0
∴3（a²-c²）-2a²≥0
∴a²≥3c²
∴
∴e的最大值为；
（3）∵e∈（，），
∴
∴
∴
∴
∴m的取值范围为．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．