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(本小题共13分)

如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为

(I)求面积为自变量的函数式,并写出其定义域;

(II)求面积的最大值.

 

 

 

 

【答案】

(I)

 

其定义域为

(II)梯形面积的最大值为

【解析】解:(I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图),则点的横坐标为

的纵坐标满足方程

解得

 

其定义域为

(II)记

,得

因为当时,;当时,,所以的最大值.

因此,当时,也取得最大值,最大值为

即梯形面积的最大值为

 

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   (II)若的图象在点(1,)处的切线方程为

(i)求在区间[-2,4]上的最大值;

(ii)求函数的单调区间.

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