Question

A，B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．
（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求弦AB中点P的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设出A，B，中点P的坐标，分别表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为-1求得x₁x₂+y₁y₂=0把抛物线的方程代入即可求得x₁x₂和y₁y₂．
（2）设出AO的方程代入抛物线求得x的值，进而表示出A的坐标，同理可表示出B的坐标，进而可表示出x₀和y₀，消去k即可求得二者的关系式，进而求得AB中点P的轨迹方程；
（3）根据S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM，表示出△AOB面积，利用基本不等式求得面积的最小值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），
（1）k_0A=

y1

x1

，k_OB=

y2

x2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴

y1 2

2p

•

y2 2

2p

+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-4p²，x₁x₂=4p²，
（2）设OA：y=kx，代入y²=2px得x=0，x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理以-

1

k

代k得B（2pk²，-2pk）
∴

x0=p(k2+ 1 k2 ) y0=p( 1 k -k )

，消去k求得

x0

p

=（

y0

p

）²+2，即y₀²=px₀-2p²，即中点P轨迹方程为y²=px-2p²．
（3）S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=

1

2

|OM|（|y₁|+|y₂|）=p（|y₁|+|y₂|）≥2p

|y1y2 |

=4p²
当且仅当|y₁|=|y₂|时，等号成立

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是灵活利用韦达定理，直线方程和曲线的方程联立等．