Question

已知矩阵A=

2 0 0 3

，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

Answer 1

分析：（1）首先求M，N两个点在此矩阵变换A下的像的坐标，根据坐标求变化后的线段M′N′的长度；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答：解：（1）由

3 0 0 4

-1 -1

=

-3 -4

，

3 0 0 4

1 1

=

3 4

，
所以M′（-3，-4），N′（3，4）
所以M′N′=

(-3-3)2+(-4-4)2

=10
（2）f(λ)=

.

λ-3 0 0 λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)=0
得矩阵A特征值为λ₁=3，λ₂=4，分别将λ₁=3，λ₂=4代入方程组可解得矩阵A
属于特征值λ₁=3的特征向量为

α

 1=

0 1

，当属于特征值λ₂=4的特征向量为

α

 2=

1 0

．

点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量．