Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱长为8，点H在棱AA₁上，且HA₁=2，点E、F分别为棱B₁C₁、C₁C的中点，P是侧面BCC₁B₁内一动点，且满足PE⊥PF，则当点P运动时，HP²的最小值是（　　）

• A． 10
• B． 27-6$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{21}$
• D． 108-24$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，知GP最小时，HP取得最小值，求出此时GP的值即可．

解答 解：如图所示．以EF为直径在平面BCC₁B₁内做圆，该圆的半径为r=$\frac{1}{2}$|EF|=$2\sqrt{2}$，
再过H引BB₁的垂线，垂足为G，连接GP，
则HP²=HG²+GP²，其中HG为棱长8，
因此当GP∥B₁C₁时，OG=6，此时GP取得最小值为6-$2\sqrt{2}$，从而HP取得最小值；
∴HP²=$（6-2\sqrt{2}）^{2}$+8²=36-24$\sqrt{2}$+8+64=108-$24\sqrt{2}$；
即HP²的最小值为108-$24\sqrt{2}$；
故选：D．

点评 本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP最小值，是易错题目，属于中档题．