Question

【题目】已知双曲线与圆在第一象限交点为，曲线.

（1）若，求b；

（2）若，与x轴交点是，P是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；

（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）；.

【解析】

（1）根据双曲线和圆的方程，将点的坐标代入，得到方程组，求得的值；

（2）方法一：结合双曲线的定义，得到的三边长，利用余弦定理求解；

方法二：根据，和双曲线的方程，联立方程组，求得的坐标，进而利用向量的坐标运算和向量的夹角余弦值公式求解；

（3）根据直线的方程，判定是圆的切线，切点为，并利用直线的方程与圆的方程联立求得的坐标，注意到直线与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，利用数形结合思想，可得只有当时，直线才能与曲线有两个交点，然后联立圆和双曲线的方程，求得的纵坐标关于的函数表达式，进而解不等式求得，最后利用向量的数量积的运算得到的取值范围.

（1）若，因为点A为曲线与曲线的交点，

∵，解得，

∴ ；

（2）方法一：由题意易得为曲线的两焦点，因为∴,

又∵P在第一象限，由双曲线定义知：，

，∴，

又∵，∴,

在中由余弦定理可得：

；

方法二：∵，可得，解得，

；

（3）设直线，

可得原点O到直线的距离，

所以直线是圆的切线，切点为M，

所以，并设，与圆联立可得，

所以得，即，

直线的斜率为，双曲线的渐近线方程为,

所以直线与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，

所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，

由，得，

所以有，得，

又因为： ，

所以.