Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n+a_n=1；递增的等差数列{b_n}满足b₁=1，b₃=b${\;}_{2}^{2}$-4．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n是a_n，b_n的等比中项，求数列{c${\;}_{n}^{2}$}的前n项和T_n；
（3）若c${\;}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{3}$t²+2t-2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}的通项公式；再由等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求{b_n}的通项公式；
（2）运用等比数列的性质，求得c${\;}_{n}^{2}$=a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；再由数列的求和方法：错位相减法，化简整理即可得到所求；
（3）由题意可得（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ≤$\frac{1}{3}$t²+2t-2恒成立．判断{（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ}的单调性，可得最大值，解不等式即可得到t的范围．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁，2S₁+a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{3}$；
当n＞1时，2S_n+a_n=1，可得2S_n-1+a_n-1=1，
相减即有2a_n+a_n-a_n-1=0，即为a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
则a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
设递增的等差数列{b_n}的公差为d，即有1+2d=（1+d）²-4，
解得d=2，则b_n=2n-1；
（2）c_n是a_n，b_n的等比中项，可得c${\;}_{n}^{2}$=a_nb_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
前n项和T_n=1•$\frac{1}{3}$+3•（$\frac{1}{3}$）²+5•（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+5•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹；
相减可得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+2[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹；
化简可得前n项和T_n=1-（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（3）c${\;}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{3}$t²+2t-2对一切正整数n恒成立，即为
（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ≤$\frac{1}{3}$t²+2t-2恒成立．
由${{c}_{n+1}}^{2}$-c${\;}_{n}^{2}$=（2n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ=（$\frac{1}{3}$）ⁿ•$\frac{4}{3}$（1-n）≤0，
可得数列{c${\;}_{n}^{2}$}单调递减，即有最大值为c₁²=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{3}$t²+2t-2，解得t≥1或t≤-7．
即实数t的取值范围为（-∞，-7]∪[1，+∞）．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查数列的单调性的运用：解恒成立问题，属于中档题．