Question

如图，α和β为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α-l-β的大小为

2π

3

，求：
（Ⅰ）点B到平面α的距离；
（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）先过点B到作平面α的垂线，交点为D，∠BB'C为二面角的平面角，再在直角三角形BB'D中求解BD即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到∠BAC或其补角为异面直线所成的角，在三角形BAC中再利用余弦定理求出此角，再用反三角函数表示即可．

解答：解：（1）如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A．
过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D．
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，
故l⊥平面BB′D，
得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α，BD之长即为点B到平面α的距离．
因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角．
由题意，∠BB′C=

2π

3

．
因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π-∠BB′C=

π

3

，
BD=BB′•sinBB′D=

3

．
（Ⅱ）连接AC、BC．因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，
知A′ACB′为矩形，
故AC∥l．
所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角．
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=

2π

3

，
则由余弦定理，
BC=

B′B2+B′C2-2B′B•B′C•cos∠BB′C

=

19

．
因BD⊥平面α，且DC⊥CA，由三垂线定理知AC⊥BC．
故在△ABC中，∠BCA=

π

2

，sinBAC=

BC

AB

=

19

5

．
因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

19

5

点评：本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题．