Question

不等式选讲
（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）已知2x+3y+4z=10，求x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的几何意义，分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可；
（2）由柯西不等式可得(x2+3y2+z2)(22+(

3

)2+42)≥(2x+3y+4z)2，利用条件，即可求得x²+3y²+z²的最小值．

解答：解：（1）当x＞

1

2

时，2x-1＜x+1，x＜2，此时，

1

2

＜x＜2
当0≤x≤

1

2

时，1-2x＜x+1，x＞0，此时，0＜x≤

1

2

当x＜0时，1-2x＜-x+1，x＞0，此时，无解
综上可得，不等式的解集为{x|0＜x＜2}
（2）由柯西不等式可得(x2+3y2+z2)(22+(

3

)2+42)≥(2x+3y+4z)2，
∴x2+3y2+z2≥

100

23

，
当且仅当

x

2

=

3 y

3

=

z

4

时取等号，
即x=

20

23

，y=

10

23

，z=

40

23

时取等号，x²+3y²+z²的最小值为

100

23

点评：本题考查解不等式，考查柯西不等式的运用，分类讨论，灵活运用柯西不等式是解题的关键．