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    已知x＞0，则当x＝________时，x＋的最小值为________．

    答案：1,2
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    科目：高中数学 来源：北京市石景山区2006－2007学年度高三年级第一学期期末统一考试、数学(理科) 题型：013

    已知定义在R上的函数f(x)同时满足条件：(1)f(0)＝2；(2)f(x)＞1，且；当x∈R时，f′(x)＞0．若f(x)的反函数是f－1(x)，则不等式f－1(x)＜0的解集为

    [　　]

    A．(0，2)

    B．(1，2)

    C．(－∞，2)

    D．(2,＋∞)

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北夷陵中学高三第一次阶段性考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）

        已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

        ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

        ②f（1）＝1; 

        ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 则有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

       （1）试求f（0）的值;

       （2）试求函数f（x）的最大值；

    （3）试证明：当x, nN＋时，f（x）<2x．

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北夷陵中学高三第一次阶段性考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）

        已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

        ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

        ②f（1）＝1; 

        ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 则有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

       （1）试求f（0）的值;

       （2）试求函数f（x）的最大值；

    （3）试证明：当x, nN＋时，f（x）<2x．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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