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已知函数f(x)=-x3+3x.
(1)判断f(x)的奇偶性,证明你的结论;
(2)当a在何范围内取值时,关于x的方程f(x)=a在x∈(-1,1]上有解?
分析:(1)根据已知中f(x)=-x3+3x.求出f(-x),并判断f(-x)与f(x)的关系,然后根据函数奇偶性的性质得到函数的奇偶性,
(2)用定义法,先在定义域上任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号.当自变量变化与函数值变化一致时,为增函数;当自变量变化与函数值变化相反时,为减函数,得出f(x)在(-1,1]上是增函数,从而函数f(x)=-x3+3x的值域是(-2,2],即可得到答案.
解答:解:(1)证明:显然f(x)的定义域是R.设x∈R,
∵f(-x)=-(-x)3+3(-x)=-(-x3+3x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)解:设-1<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(-x13+3x1)-(-x23+3x2)=(x1-x2)[3-(x12+x1x2+x22)]
∵x1<x2,3-(x12+x1x2+x22)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在(-1,1]上是增函数.
∴函数f(x)=-x3+3x的值域是(-2,2].
∴当a在(-2,2]内取值时,关于x的方程f(x)=a在x∈(-1,1]上有解.
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合,其中熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义及性质是解答本题的关键.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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2
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1
f(n)
}
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A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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