Question

（2006•咸安区模拟）函数f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．当x∈[0，1]时，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，求f（x）的表达式；
（2）若f（x）的最大值为

1

2

，解关于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由f（x+2）=f（x）可得2是f（x）周期，当x∈[2k-1，2k]时，x-2k∈[-1，0），代入可得f（x）=log_a[2+（x-2k）]；当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，代入可得f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
（2）f（x）的最大值为

1

2

，求出a=4，再求x∈[-1，1时的解集，利用周期为2，可得不等式的解集．．

解答：解：（1）当x∈[-1，0）时，f（x）=f（-x）=log_a[2-（-x）]=log_a（2+x）．
当x∈[2k-1，2k）（k∈Z）时，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=log_a[2+（x-2k）]．
当x∈[2k，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
故当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，f（x）的表达式为f(x)=

loga[2+(x-2k)]，x∈[2k-1，2k) loga[2-(x-2k)]，x∈[2k，2k+1]

（2）∵f（x）是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴f（x）的最大值就是当x∈[0，1]时，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（2-x）在[0，1]上是减函数，∴[f(x)]max=f(0)=loga2=

1

2

，∴a=4．
当x∈[-1，1]时，由f(x)＞

1

4

得

-1≤x＜0 log4(2+x)＞ 1 4

或

0≤x≤1 log4(2-x)＞ 1 4

得

2

-2＜x＜2-

2

．
∵f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f(x)＞

1

4

的解集为{x|2k+

2

-2＜x＜2k+2-

2

，k∈Z}．

点评：本题主要考查周期函数，解题的关键是正确利用周期，及已知定义域上的解析式，属于中档题．