Question

【题目】设椭圆C： + =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．
①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1 ， k2 ， 试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线x2=4y的焦点为（0，1）与椭圆C的一个短轴端点重合，

∴b=1，

由椭圆C的离心率e= = = ，则a2=3，

∴椭圆的标准方程为： ，x2+y2=4

（2）解：①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），过点P过椭圆C的切线斜率存在且不为零，

设方程为y=kx+m，（k≠0），

由直线y=kx+m，过P（x1，y1），则m=y1﹣kx1，且x12+y12=4，

，消去y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

△=36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）=0，整理得：m2=3k2+1，

将m=y1﹣kx1，代入上式关于k的方程（x12﹣3）k2﹣2x1y1k+y12﹣1=0，（x12﹣3≠0），

则kPAkPB= =﹣1，（x12+y12=4），

当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，

∴PA⊥PB，

②当直线PQ的斜率存在时，

由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，

，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，

则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴k1k2= = = ，

= ，

将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣ ，

当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣ ，

∴综上可知：k1k2=﹣

【解析】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPAkPB=﹣1，即可证明PA⊥PB；②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2= ，代入即可求得k1k2=﹣ ．