Question

过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A、B．

(1)求证：P在双曲线的右准线上；

(2)求双曲线的离心率e的取值范围；

(3)若|AP|＝3|PB|，求离心率e．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)双曲线在第一、三象限的渐近线方程为 　　bx－ay＝0．　　① 　　设l的方程为ax＋by＋m＝0． 　　∵F(c，0)在l上，∴m＝－ac， 　　∴l的方程是ax＋by－ac＝0．　　② 　　联立①，②得P(，)， 　　∴点P在右准线x＝上． 　　(2)联立直线l与双曲线的方程得 　　(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b2)＝0 　　∵l与双曲线交于左、右支各一点， 　　∴x1x2＝＜0． 　　∴b4－a4＞0，∴b2－a2＞0，即c2－2a2＞0． 　　∴()2－2＞0，∴e＞． 　　(3)∵点P分有向线段AB所成的比为λ，且λ＝3， 　　∴＝，∴x1＋3x2＝．　　③ 　　又∴x1＋x2＝，　　④ 　　联立③，④，可解得 　　又∴x1x2＝， 　　∴＝． 　　∴a6－5a2b4＝a4c－a2b2c2－b4． 　　两边同除以a2，又c2＝a2＋b2， 　　可得e6－7e4＋11e2－5＝0． 　　即(e2－5)(e2－1)2＝0，又e＞1，∴e＝． 　　分析：(1)要证明点P在右准线上，只要证明点P的坐标满足右准线方程．(2)只要能构造关于a、b、c的不等式，就可求得e的取值范围．(3)要求离心率e的值，则需要根据条件|AP|＝3|PB|构造关于a、b、c的等式．

提示：

评注：在第(3)小题的求解中，涉及大量的字母运算，所以对运算的要求较高，必须有很强的运算能力，才能获得正确的结论．