【题目】已知函数(为常数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为和.(2)实数的取值范围是.
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点,最后列表分析导函数符号:确定单调区间,(2)恒成立问题,解决方法为转化为对应函数最值问题: 的最大值小于零,先求导数,根据导函数是否变化进行讨论:当时,单调递增,无最大值;当时,先增后减,在极值点处取最大值,不恒小于零:当时, 在上单调递减, .
试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为,
当时, ,
,
由得, ,
由得, 或,
∴函数的单调增区间为,
单调减区间为和.
(Ⅱ)当时, 恒成立,
令,
问题转换为时, .
,
①当时, ,
在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
②当时,令解得, ,
此时在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
③当时,令解得, ,
当时, ,
而在上单调递增,在上单调递减,
,
令, ,
则,
在上单调递增,
又,
当时, ,
在上小于或等于不恒成立,即不恒成立,
故不合题意.
当时, ,
而此时在上单调递减, ,符合题意.
综上可知,实数的取值范围是.
(也可用洛必达法则)
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【题目】已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)若函数y=f(x)的零点为﹣1和1,求实数b,c的值;
(2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,求实数b的取值范围.
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【题目】f(x)=﹣x|x|+px.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)当p=﹣2时,判断函数f(x)在(﹣∞,0)上单调性并加以证明;
(3)当p=2时,画出函数的图象并指出单调区间.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线: .
(Ⅰ)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与相交于两点,设点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(m>0)的离心率为,A,B分别为椭圆的左、右顶点,F是其右焦点,P是椭圆C上异于A、B的动点.
(1)求m的值及椭圆的准线方程;
(2)设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
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【题目】某校为研究学生语言学科的学习情况,现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001,002,…,200,采用系统抽样的方法等距抽取10名学生,将10名学生的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下:
(Ⅰ)若第一段抽取的学生编号是006,写出第五段抽取的学生编号;
(Ⅱ)在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈,求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率;
(Ⅲ)根据折线图,比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩,写出你的结论和理由.
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【题目】已知点在圆上, 的坐标分别为, ,线段的垂直平分线交线段于点
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设圆与点的轨迹交于不同的四个点,求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值及其对应的点的直角坐标.
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