Question

在△ABC中，若c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，则∠C等于（　　）

• A、90°
• B、120°
• C、60°
• D、120°或60°

Answer 1

分析：把已知c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0等式通过完全平方式、拆分项转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0．分两种情况，根据余弦定理即可求得∠C的度数．

解答：解：∵c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，
?c⁴-2（a²+b²）c²+（a²+b²）²-a²b²=0，
?[c²-（a²+b²）]²-（ab）²=0，
?（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，
∴c²-a²-b²-ab=0或c²-a²-b²+ab=0，
当c²-a²-b²+ab=0时，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，∴∠C=60°，
当c²-a²-b²-ab=0时，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，∴∠C=120°，
综上可得：∠C=60°或120°．
故选D

点评：本题考查了余弦定理，以及因式分解的应用，解决本题的关键是将原式转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，再利用余弦定理求得∠C的度数．