【题目】过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则 + 的最大值等于 .
【答案】-16
【解析】解:如图所示,
由抛物线x2=4y可得焦点F(0,1).
设直线AB的方程为:y=kx+1,(k≠0).
∵AB⊥CD,可得直线CD的方程为y=﹣ x+1.
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3),D(x4 , y4).
联立 ,化为x2﹣4kx﹣4=0,
得x1+x2=4k,x1x2=﹣4.
同理可得x3+x4=﹣ ,x3x4=﹣4.
∴ =(x1 , y1﹣1)(x2 , y2﹣1)=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)=(1+k2)x1x2=﹣4(1+k2).
同理可得 =﹣4(1+ ).
∴ + =﹣4(2+k2+ )≤﹣4(2+2 )=﹣16,当且仅当k=±1时取等号.
∴ + 的最大值等于﹣16.
所以答案是:﹣16.
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【题目】某校在“普及环保知识节”后,为了进一步增强环保意识,从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试.经统计,这批学生测试的分数全部介于75至100之间.将数据分成以下5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)现采用分层抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生座谈,求每组抽取的学生人数;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组(只需写出结论).
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【题目】设集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},若对于函数y=f(x),其定义域为A,值域为B,则这个函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.
(1)求f(9),f(27)的值;
(2)解不等式f(x)+f(x﹣8)<2.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M﹣QB﹣C为30°,求线段PM与线段MC的比值t.
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【题目】已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(3,m)在抛物线E上,且|AF|=4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点G(﹣1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
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