【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(﹣4,0),D(0,4)设△AOB的外接圆圆心为E.
(1)若⊙E与直线CD相切,求实数a的值;
(2)设点P在圆E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,试问这样的⊙E是否存在,若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:∵C(﹣4,0)、D(0,4),
∴直线CD方程为 .化简得x﹣y+4=0.
又∵△AOB的外接圆圆心为E( , ),半径r= .
∴由⊙E与直线CD相切,得圆心E到直线CD的距离等于半径,
即 = ,即2 = ,解之得a=4
(2)解:C(﹣4,0)、D(0,4),可得|CD|= =4 ,
设P到直线CD的距离为d,可得△PCD的面积S= |CD|×d=12,
即 ,解之得d=3 .
因此,只须与CD平行且与CD距离为3 的两条直线中的一条与⊙E相切,
另一条与⊙E相交.
∵由(1)的计算,可知圆心E到直线CD距离为2 ,
∴圆E的半径为2 +3 =5 ,即r= =5 ,解得a=10.
即存在a=10,满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,⊙E的标准方程是(x﹣5)2+(y﹣5)2=50.
【解析】(1)根据△AOB为等腰直角三角形,算出它的圆心为E( , ),半径r= .求出直线CD的方程,根据⊙E与CD相切,利用点到直线的距离公式建立关于a的等式,解之即可得出实数a的值;(2)由|CD|=4 与△PCD的面积等于12,算出P到直线CD的距离为d=3 .若满足条件的点P有3个,说明与CD平行且与CD距离为3 的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交.由此算出⊙E的半径,进而算出实数a的值,得到满足条件的⊙E的标准方程.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,BC=2,求B1到平面ABC的距离.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C的极坐标方程为ρ= . (Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)作斜率为1直线l与曲线C交于A,B两点,试求 + 的值.
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【题目】已知为常数,对任意,均有恒成立.下列说法:
①的周期为;
②若为常数)的图像关于直线对称,则;
③若且,则必有;
④已知定义在上的函数对任意均有成立,且当时, ;又函数为常数),若存在使得成立,则的取值范围是.其中说法正确的是____.(填写所有正确结论的编号)
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【题目】为了得到函数y=2sin(2x+ )的图象,只需把函数y=2sinx的图象( )
A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)
C.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍,再把所得图象向左平移 个单位长度
D.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移 个单位长度
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
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【题目】设{an}是等差数列,数列{an}的前n项和为Sn , {bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b2=7,S2+b2=6 (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和Sn .
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= ,AB=1,M是PB的中点.
(1)证明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成的角;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值.
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