Question

8．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，证出结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），
∴f′（1）=0，f（1）=0，
故切线方程是：y=0；
（2）证明：由（1）令f′（x）＞0，解得：x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（1）=0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1恒成立．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．