Question

（2013•梅州一模）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF⊥平面PDC；
（2）求三棱锥B-PEC的体积；
（3）求证：AF∥平面PEC．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质定理可得AB⊥AF．，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三棱锥的体积计算公式V_B-PEC=V_P-BEC=

1

3

S△BEC×PA即可得出；
（3）取PC得中点M，连接MF、ME．利用三角形的中位线定理及矩形的性质可得FM

∥

.

AE，于是四边形AEMF是平行四边形，可得AF∥EM，再利用线面平行的判定定理可得AF∥平面PEC．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
由底面ABCD是矩形，∴CD⊥DA，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF．
∵PA=AD=1，F是PD的中点，
∴AF⊥PD，
又PD∩DC=D，∴AF⊥平面PDC．
（2）解：S△BEC=

1

2

EB×BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵PA⊥平面ABCD，
V_B-PEC=V_P-BEC=

1

3

S△BEC×PA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．
（3）取PC得中点M，连接MF、ME．
∵MF

∥

.

1

2

DC，DC

∥

.

AB，E是AB的中点，∴FM

∥

.

AE，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、三棱锥的体积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．