【题目】根据题意解答
(1)已知a为常数,且0<a<1,函数f(x)=(1+x)a﹣ax,求函数f(x)在x>﹣1上的最大值;
(2)若a,b均为正实数,求证:ab+ba>1.
【答案】
(1)解:由f(x)=(1+x)a﹣ax,求导f′(x)=a(1+x)a﹣1﹣a=a[(1+x)a﹣1﹣1],
当﹣1<x<0时,f′(x)>0,当x>0,f′(x)<0,
∴f(x)在x=0处取极大值,也是最大值f(0)=1,
∴f(x)的最大值为1;
(2)证明:①当a,b中有一个大于1时,不妨设a≥1,
ab+ba>ab>1,
②当a,b均属于(0,1),设a= ,b= ,(m,n>0),
则ab= = ≥ = ,
同理可知:ba≥ ,
∴ab+ba> + = >1,
∴ab+ba>1.
【解析】(1)由f′(x)=a(1+x)a﹣1﹣a=a[(1+x)a﹣1﹣1],当﹣1<x<0时,f′(x)>0,当x>0,f′(x)<0,f(x)在x=0处取极大值,也是最大值f(0)=1;(2)①当a,b中有一个大于1时,不妨设a≥1,ab+ba>ab>1,②当a,b均属于(0,1),设a= ,b= ,(m,n>0),则ab= = ≥ = ,同理ba≥ ,即可证明ab+ba>1.
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=ex(其中e为自然对数的底数). (Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)g(x)在区间[﹣2,0]上的最大值;
(Ⅱ)若a=﹣1,关于x的方程f(x)=kg(x)有且仅有一个根,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)若对任意的x1 , x2∈[0,2],x1≠x2 , 不等式|f(x1)﹣f(x2)|<|g(x1)﹣g(x2)|均成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当t≥1时,不等式f(2t﹣1)≥2f(t)﹣3恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AP⊥BP,AC⊥BC,∠PAB=60°,∠ABC=45°,D是AB中点,E,F分别为PD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AE⊥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点M,使得CM∥平面AEF?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知Sn表示数列{an}的前n项和,若对任意的n∈N*满足an+1=an+a2 , 且a3=2,则S2016=( )
A.1006×2013
B.1006×2014
C.1008×2015
D.1007×2015
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1.
(1)求f(x)的函数解析式,并用分段函数的形式给出;
(2)作出函数f(x)的简图;
(3)写出函数f(x)的单调区间及最值.
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【题目】△ABC中,若sinC=( cosA+sinA)cosB,则( )
A.B=
B.2b=a+c
C.△ABC是直角三角形
D.a2=b2+c2或2B=A+C
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