Question

根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系f(t)=

t+20 ，(0≤t＜20，t∈N) -t+42 ，(20≤t≤40，t∈N)

，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额的F（t）（销售量与价格之积），
（Ⅰ）求商品的日销售额F（t）的解析式；    
（Ⅱ）求商品的日销售额F（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题设条件，由商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），能够求出F（t）的解析式．
（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，F（t）=-t²+30t+100=-（t-15）²+1225．当t=15时，F（t）_max=1225；当20≤t≤40，t∈N时，F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，当t=20时，F（t）_max=660．由此能求出商品的日销售额F（t）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）据题意，商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），
得F(t)=

(t+20)(-t+50)，0≤t＜20，t∈N (-t+42)(-t+50)，20≤t≤40，t∈N

，
即F（t）=

-t2+30t+1000，0≤t＜20，t∈N t2-92t+2100，20≤t≤40，t∈N

．
（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，
F（t）=-t²+30t+1000=-（t-15）²+1225，
∴当t=15时，F（t）_max=1225；
当20≤t≤40，t∈N时，
F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，
∴当t=20时，F（t）_max=660
综上所述，当t=15时，
日销售额F（t）最大，
且最大值为1225．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意配方法的灵活运用．