Question

选修4-4：坐标系与参数方程
直线l：

x=a+4t y=-1-2t

(t为参数)，圆C：ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．
（1）求圆心C到直线l的距离；
（2）若直线l被圆C截的弦长为

6 5

5

，求a的值．

Answer 1

分析：（I） 把直线的参数方程化为普通方程，把圆的极坐标方程化为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离．
（II）利用弦心距、半径、半弦长之间的关系建立关于a的方程，从而解出a的值．

解答：解：（I）把

x=a+4t y=-1-2t

 用代入法消去参数t，化为普通方程为 x=a+4（

y+1

-2

 ），即 x+2y+2-a=0．
 ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，即 ρ²=2

2

ρ （

2

2

cosθ-

2

2

sinθ ）=2ρ cosθ-2ρsinθ，
化为直角坐标系中的方程为   x²+y²=2x-2y，即  x²+y²-2x+2y=0．
∴圆心（1，-1）到直线x+2y+2-a=0 的距离为

|1-2+2-a|

1+4

=

5 |1-a|

5

．
（II）由弦心距、半径、半弦长之间的关系得：(

3

5

)2+(

|a-1|

5

)2=(

2

)2，∴a²-2a=0，a=0，或a=2．

点评：本题考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用．