Question

已知函数f（2^x-2）=x-1（x∈[0，2]），将函数f（x）的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可得函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）若h（x）=[g（x）]²-g（x²），试求函数h（x）的最值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用换元法求解函数f（x）的解析式，然后利用函数图象的平移得到函数g（x）的解析式；
（2）把已知的函数化为关于log₂x的二次函数求最值．

解答： 解：（1）令2^x-2=t（-1≤t≤2），
则x=log₂（t+2），
即f（t）=log₂（t+2）-1．
∴f（x）=log₂（x+2）-1，（-1≤x≤2）．
把函数f（x）的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
可得g（x）的图象的解析式为：g（x）=log₂x+2（1≤x≤4）；
（2）h（x）=[g（x）]²-g（x²）
=(log2x+2)2-log2x2+2=(log2x)2+2log2x+6．
∵1≤x≤4，
∴log₂x∈[0，2]．
∴h（x）_min=6，h（x）_max=14．

点评：本题考查了函数解析式的求法，考查了复合函数的值域，是中档题．