Question

已知函数f(x)=logacos(2x-

π

3

)（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的定义域可得cos（2x-

π

3

）＞0，根据2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

 k∈Z，求出x的范围，即可得到所求．
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-

π

3

）＞0时的增区间，由2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+0，k∈z 求出函数
的增区间．由2kπ＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈z，求出函数减区间．当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是a＞1时的减区间，
f（x）的单调减区间就是a＞1时的增区间．
（3）f（x）是周期函数，由周期计算公式求得结果．

解答：解：（1）要使f（x）有意义，需满足cos（2x-

π

3

）＞0，…（2分）
∴2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

12

＜x＜kπ+

5π

12

．k∈z …（5分）
∴f（x）的定义域为{x|kπ-

π

12

＜x＜kπ+

5π

12

，k∈Z}．…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-

π

3

）＞0时的增区间．
由 2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-

π

12

＜x＜kπ+

π

6

，k∈z，
故单调增区间是 （kπ-

π

12

，kπ+

π

6

 ），k∈z．
由 2kπ＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

6

＜x＜kπ+

5π

12

，k∈z，
故单调减区间是（kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

） （k∈Z）． …（9分）
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-

π

3

）＞0时的减区间，
f（x）的单调减区间就是cos（2x-

π

3

）＞0时的增区间．
故f（x）的单调增区间是 （kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

） （k∈Z）． 
故f（x）单调减区间是 （kπ-

π

12

，kπ+

π

6

 ），k∈z．…（12分）
（3）f（x）是周期函数，最小正周期是

2π

2

=π．…（14分）

点评：本题主要考查余弦函数的定义域，对数函数的定义域，三角函数的周期性及其求法，注意复合函数的单调性规律：
同增异减，属于中档题．