分析 (1)先求出f(x)的导数,代入y=f(x)-f′(x)得出函数表达式,再去研究单调性与极值,
(2)f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,从而f′(x)>1等价于xlnx+1>$\frac{x}{{e}^{x}}$,构造函数,求最值,即可证明结论.
解答 解:(1)函数f(x)=ex(lnx+1)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,则y=f(x)-f′(x)=-$\frac{{e}^{x}}{x}$,
∴y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{x}^{2}}$,由y′=0可得x=1.
当x>1时,y′<0;当x<1时,y′>0;
∴y=f(x)-f′(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),
∴当x=1时,y取极大值-e,函数无极小值;
(2)证明:f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,从而f′(x)>1等价于xlnx+1>$\frac{x}{{e}^{x}}$,
设h(x)=xlnx+1,则h′(x)=1+lnx,
∴x∈(0,$\frac{1}{e}$),h′(x)<0,x∈($\frac{1}{e}$,+∞),h′(x)>0,
∴h(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上单调递减,在($\frac{1}{e}$,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$+1.
设F(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$,则F′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$
x∈(0,1),F′(x)>0,x∈(1,+∞),F′(x)<0
∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴函数F(x)的最大值为F(1)=$\frac{1}{e}$,
∴F(x)≤$\frac{1}{e}$,
∵-$\frac{1}{e}$+1-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{2}{e}$>0,
∴h(x)>F(x),
∴f′(x)>1.
点评 本题主要考查函数与导数的综合应用,构造函数研究方程问题,体现了函数与方程、转化化归的数学思想.
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