Question

4．已知f（x）=e^xlnx．
（1）求y=f（x）-f′（x）的单调区间与极值；
（2）证明：f′（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）-f′（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，
（2）f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，构造函数，求最值，即可证明结论．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x（lnx+1）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，则y=f（x）-f′（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由y′=0可得x=1．
当x＞1时，y′＜0；当x＜1时，y′＞0；
∴y=f（x）-f′（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
∴当x=1时，y取极大值-e，函数无极小值；
（2）证明：f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，
设h（x）=xlnx+1，则h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，$\frac{1}{e}$），h′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+1．
设F（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则F′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$
x∈（0，1），F′（x）＞0，x∈（1，+∞），F′（x）＜0
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数F（x）的最大值为F（1）=$\frac{1}{e}$，
∴F（x）≤$\frac{1}{e}$，
∵-$\frac{1}{e}$+1-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{2}{e}$＞0，
∴h（x）＞F（x），
∴f′（x）＞1．

点评 本题主要考查函数与导数的综合应用，构造函数研究方程问题，体现了函数与方程、转化化归的数学思想．