Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使(

DM

+

DN

)•

MN

=0？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使(

PM

+

PN

)•

MN

=0，试求n的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）知，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

，由此可求出椭圆方程．
（II）(

DM

+

DN

)•

MN

=0?|

DM

|=|

DN

|，若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
可设直线l：y=kx+m（k≠0），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后利用根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（III）由题设条件可推出

y0-n

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -n

- 4km 3+4k2

=-

1

k

，由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即4k2＜

1

n2

-3，要使k存在，只需

1

n2

-3＞0(n≠0)，由此可推导出n的取值范围．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）知，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

解得

a2=4 b2=3

∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（II）∵条件(

DM

+

DN

)•

MN

=0等价于|

DM

|=|

DN

|
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0得4k²+3＞m²．（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀）
则x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

．
又∵|

DM

|=|

DN

|∴

y0-1

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -1

- 4km 3+4k2

=-

1

k

解得：m=-3-4k²．（8分）
（将点的坐标代入(

DM

+

DN

)•

MN

=0亦可得到此结果）
由4k²+3＞m²得，4k²+3＞（3+4k²）²得，4k²＜-2，这是不可能的．
故满足条件的直线不存在．（10分）
（III）据（II）有

y0-n

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -n

- 4km 3+4k2

=-

1

k

，
解得，m=-n（3+4k²），
由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即4k2＜

1

n2

-3，要使k存在，只需

1

n2

-3＞0(n≠0)
∴n的取值范围是(-

3

3

，0)∪(0，

3

3

)（14分）

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系和椭圆性质的运用，解题时要认真审题，仔细解答，恰当地选取公式．