【题目】选修4﹣4:坐标系与参数方程 曲线C1的参数方程为 (α为参数),在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若射线l:y=kx(x≥0)与曲线C1 , C2的交点分别为A,B(A,B异于原点),当斜率k∈(1, ]时,求|OA||OB|的取值范围.
【答案】
(1)解:曲线C1的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1,即x2+y2﹣2x=0,
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ,即ρ2cos2θ=ρsinθ,
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y
(2)解:设射线l的倾斜角为α,
则射线l的参数方程为 (t为参数, ).
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得:t2﹣2tcosα=0,
解得t1=0,t2=2cosα.
∴|OA|=|t2|=2cosα.
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得:cos2αt2=tsinα,
解得t1=0,t2= .
∴|OB|=|t2|= .
∴|OA||OB|=2cosα =2tanα=2k.
∵k∈(1, ],∴2k∈(2,2 ].
∴|OA||OB|的取值范围是(2,2 ]
【解析】(1)先将C1的参数方程化为普通方程,再华为极坐标方程,将C2的极坐标方程两边同乘ρ,根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程;(2)求出l的参数方程,分别代入C1 , C2的普通方程,根据参数的几何意义得出|OA|,|OB|,得到|OA||OB|关于k的函数,根据k的范围得出答案.
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【题目】为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,,,,,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有人,第三组中没有疗效的有人,则第三组中有疗效的人数为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA=2 ,∠PDC=120°,点E为线段PC的中点,点F在线段AB上. (Ⅰ)若AF= ,求证:CD⊥EF;
(Ⅱ)设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ,试确定点F的位置,使得cosθ= .
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=ex﹣1﹣ax的图象与x轴相切. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x>1时,f(x)>m(x﹣1)lnx,求实数m的取值范围.
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【题目】某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从2016级的年龄在18~19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名,测量他们的身高,量出的身高如下(单位:cm):
南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.
北方:183,173,169,163,179,171,157,175,184,166.
(1)根据抽测结果,画出茎叶图,对来自南方和北方的大学生的身高作比较,写出统计结论.
(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为cm,将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算,问输出的s大小为多少?并说明s的统计学意义。
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【题目】观察下列等式:12=1,12﹣22=﹣3,12﹣22+32=6,12﹣22+32﹣42=﹣10,…由以上等式推测到一个一般的结论:对于n∈N* , 12﹣22+32﹣42+…+(﹣1)n+1n2= .
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【题目】张三同学从每年生日时对自己的身高测量后记录如表:
(附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,)
(1)求身高关于年龄的线性回归方程;(可能会用到的数据:(cm))
(2)利用(1)中的线性回归方程,分析张三同学岁起到岁身高的变化情况,如 岁之前都符合这一变化,请预测张三同学 岁时的身高。
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