Question

已知f(x)=log

1

2

2x+b

2x-b

(b＜0)．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）指出f（x）在区间（-b，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由真数大于0，解不等式即可．
（2）由奇函数的定义只要判断f（x）和f（-x）的关系即可，也可计算f（x）+f（-x）=0
（3）由单调性的定义在区间（-b，+∞）上任取两个自变量，利用做差法比较对应函数值的大小即可．

解答：解：（1）由

2x+b

2x-b

＞0，b＜0，得到x＜

b

2

或x＞-

b

2

则所求函数定义域为(-∞，

b

2

)∪(-

b

2

，+∞)．
（2）∵f（-x）=log

1

2

，

-2x+b

-2x-b

=log

1

2

2x-b

2x+b

=-log

1

2

2x+b

2x-b

=-f（x）
∴f（x）是奇函数．

（3）令g（x）=

2x+b

2x-b

．
设-b＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=

4b(x2-x1)

(2x1-b)(2x2-b)

（10分）
∵b＜0，∴-

b

2

＜-b，∴x₂＞x₁＞-

b

2

，则有x₂-x₁＞0，2x₁-b＞0，2x₂-b＞0
∴

4b(x2-x1)

(2x1-b)(2x2-b)

＜0，即g（x₁）＜g（x₂），而f（x）=log

1

2

g（x）且0＜

1

2

＜1
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-b，+∞）上是减函数．

点评：本题考查复合函数的定义域、单调性、奇偶性的判断和证明，难度不大．