Question

7．设椭圆M：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知$A（-2，\sqrt{2}）$，F是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使△AFP的周长最大？若存在，请求出△AFP周长的最大值，并求此时△AFP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，再由椭圆和圆的关系，以及a，b，c的关系，求得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）由题意的定义，求得三角形AFP的周长，由两点间线段最短可得周长的最小值，再由三角形的面积公式，计算可得所求．

解答 解：（1）∵双曲线x²-y²=1的离心率为$\sqrt{2}$，
∴椭圆M的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵椭圆M内切于圆x²+y²=4，而圆的直径为4，
即有2a=4，又b²=a²-c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
所求椭圆M的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（2）椭圆M的上焦点为${F_1}（0，\sqrt{2}）$，
由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF|=4，
即|PF|=4-|PF₁|，
△AFP的周长为$|PA|+|PF|+|AF|=|PA|-|P{F_1}|+4+2\sqrt{3}≤|A{F_1}|+4+2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，
当且仅当点P在线段AF₁的延长线上时取等号．
即有在椭圆M上存在点P，使△AFP的周长取得最大值$6+2\sqrt{3}$，
直线AF₁的方程为$y=\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1}\end{array}}\right.解得：\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
由点P在线段AF₁的延长线上，可得点P的坐标为$P（1，\sqrt{2}）$，
则△AFP的面积${S_{△AFP}}=\frac{1}{2}|AP||F{F_1}|=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的周长的最值问题，注意运用椭圆的定义和两点间线段最短的性质，考查三角形的面积的计算，属于中档题．