Question

以下四个命题：
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是；
③直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为．其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：对于①当定点F正好在定直线l上时，平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线；
②先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．
③只有当直线l是过抛物线焦点的直线时，直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p才成立；
④设另外两个顶点的坐标分别为 （），（ ），由 tan30°=，解得 m的值．
解答：解：①当定点F正好在定直线l上时，平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线；故错；
②当a＞0时，整理抛物线方程得x²=y，p=
∴焦点坐标为 ，抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是；故错；
③当直线l不是过抛物线焦点的直线时，直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p不成立，故③错；
④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为 （ ），（ ），由 tan30°==，
解得 m=2p，故这个正三角形的边长为  2m=，
故正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为正确．
其中正确命题的序号是 ④．
故答案为：④．
点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．④直角三角形中的边角关系，设出另外两个顶点的坐标，是解题的突破口．