Question

9．设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6，若无穷数列a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，…，a${\;}_{{n}_{t}}$，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）构成等比数列，则数列{a_n}的前2015项中是该等比数列中项的个数为7．

Answer 1

分析 先由a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$成等比数列，求得d与n₁的关系，再由d与n₁都是整数求解，即可得出结论．

解答 解：设等差数列的公差为d，则a₃=a₅-2d=6-2d，a_n1=a₅+（n₁-5）d=6+（n₁-5）d．
∵a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$成等比数列，
∴a₅²=a₃a${\;}_{{n}_{1}}$，
化简即（6n₁-42）d-2（n₁-5）d²=0，
∵d≠0所以有 3n₁-21=（n₁-5）d   （1）
显然d=3不能使等式成立，
∴由（1）式可以解出：n₁=（21-5d）÷（3-d），
因为n₁＞5，n₁为整数，因此n₁≥6，即（21-5d）÷（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，则 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，与d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
当d=2时n₁=11，满足条件．
∴a_n=a₅+（n-5）×2=2n-4，
∴等比数列的公比为3，
∴等比数列的通项为b_n=2•3^n-1，
∵a₂₀₁₅=4026，
∴2•3^n-1≤4026，
∴n≤7．
故答案为：7．

点评 本题主要考查等差、等比数列的综合运用以及数域的应用．