Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是棱AB的中点，F是棱CD的中点，
(1)求证：直线B₁F∥平面D₁DE；
(2)求二面角C₁-BD₁-B₁的大小；
(3)若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DPA₁C₁体积的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：取棱A1B1的中点E1，连结E1D， ∵B1E1∥DF且相等， ∴四边形DFB1E1为平行四边形，∴B1F∥DE1， 又∵B1F平面D1DE，易得DE1平面D1DE， ∴B1F∥平面D1DE。 （Ⅱ）解：取A1C1与B1D1的交点O1， 在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1，重足为H，连结HC1， ∵C1O1⊥B1D1，平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1， ∴C1O1⊥平面BB1D1D， ∴C1H⊥BD1，即∠O1HC1是所求二面角的平面角， 又， ∴， ∴∠O1HC1=60°，所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°。 （Ⅲ）解：延长BA到M，使AM=AB连结MD， 则∵AB∥DC且相等， ∴AM∥DC且相等，∴四边形MACD是平行四边形， ∴MD∥AC且相等， 又四边形A1ACC1是平行四边形， ∴AC∥A1C1且相等， ∴MD∥A1C1且相等， ∴MD与A1C1确定一个平面，即平面DA1C1， ∴M是直线BA与平面DA1C1的交点， ∴当动点P与B重合时，P到平面DA1C1的距离最大，四面体DPA1C1体积最大， 此时四面体DPA1C1为正四面体， 棱长是，故四面体底面面积为，高为， 体积为。